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$$ \lim_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{x^2}$$ 의 값을 구하는 문제를 생각해보자. 고등학교 교육과정 내에서 풀려고 하면 잘 안될 것이다. 그러면 보통 학원에서 가르쳐주는 로피탈 법칙을 쓰려고 할텐데,,, 만약 이게 학교 시험 서술형에 나왔다고 하면 ㅠㅠ 굉장히 난처해질 것이 불보듯 뻔하다. 답은 구할 수 있겠지만 -_-;; 그러면 어떻게 해야될까? 간단한 '부등식 하나'와 '삼각함수 식조작'을 통해서 극한값을 알아볼 것이다. 극한식 내부의 식 $f(x)=\dfrac{x - \sin x}{x^2}$이 기함수라는 것을 통해서 $x>0$인 경우만 따져봐도 괜찮다는 알 수 있을 것이다. 그러면, 우리는 다음과 같이 식을 작성할 수 있다. $$ 00$ 일 때는 $\tan x> x$..

1. 진수가 1이면 로그 값은 무조건 0, 밑과 진수가 같으면 로그 값은 1이다. 2. 로그끼리 덧셈은 진수끼리의 곱셈이다. 3. 로그끼리 뺄셈은 진수끼리의 나눗셈이다. 4. 진수의 지수 자리에 올라간 숫자는 앞으로 떨어질 수 있고, 다시 올라갈 수도 있다. 5. 밑변환 공식: 밑이 마음에 들지 않는다면 내가 원하는 밑으로 바꿀 수 있다. (로그의 나눗셈) 6. 로그끼리의 곱셈에서 밑은 서로 자리를 바꿀 수 있다. (밑변환 공식에 의해) 7. 밑과 지수는 앞으로 튀어나올 수도, 다시 들어갈 수도 있다. 8. 양쪽 끝은 서로 자리를 바꿀 수 있다.

1. 방정식 f(x)=0의 실근 x 함수 y=f(x)와 y=0(x축)이 만나는 교점의 x좌표 2. 방정식 f(x)=k의 실근 x 함수 y=f(x)와 y=k라는 직선이 만나는 교점의 x좌표 3. 방정식 f(x)=g(x)의 실근 x 함수 y=f(x), y=g(x)가 만나는 교점의 x좌표

열린 구간에서 최대 또는 최소를 물어본다면 무조건 극댓값 = 최댓값, 극솟값 = 최솟값

극대: 주변에서 가장 크거나 같은 값 [local maximum] x=a를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 x에 대하여 f(x)=f(a)일 때, 함수 f(x)는 x=a에서 극소라 하고 f(a)를 극솟값이라고 한다. 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라고 한다. 미분가능한 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 f'(a)=0이다. 주의점 1. 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 f'(a)=0이다. (거짓) 2. f'(a)=0이면 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 갖는다. (거짓) 3. 미분가능한 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 f'(a)=0이다. (참)

미분가능한 함수 f(x)에 대해 1. f(x)가 증가함수이면 f'(x)>0이다. (거짓) 2. f(x)가 증가함수이면 f'(x)>=0이다. (참) 3. f(x)가 감소함수이면 f'(x)0이면 f(x)는 증가함수이다. (참) 6. f'(x)>=0이면 f(x)는 증가함수이다. (거짓) 7. f'(x)=0 10. f(x)가 감소함수 f'(x)

삼차함수 y=ax^3+bx^2+cx+d가 직선과 세 점에서 만날 때, 세 교점의 x좌표의 합은 항상 -b\a로 일정하다. (접하는 경우도 같다.) y=ax^3+bx^2+cx+d, y=px+q가 주어졌을 때 x^3+bx^2+cx+d=px+q라고 잡은 뒤 이항하면 x^3+bx^2+(c-p)x+d-q=0가 된다. 위의 방정식의 해는 삼차함수와 직선의 교점의 x좌표들이 되는데, 이차항 계수에는 변화를 주지 않으므로 세 교점의 x좌표의 합은 항상 일정하다.

사잇값 정리 (연속): f(x)=k인 x가 적어도 하나 존재하니? 롤의 정리 (미분가능): f'(x)=0인 x가 적어도 하나 존재하니? 평균값 정리 (미분가능): f'(x)=k인 x가 적어도 하나 존재하니?

1. f'(x)>0 이면 증가한다. 당연한 거. 2. f'(x)>=0이면 증가가 아닐 수도 있다. 상수함수를 생각해보면 된다. 3. f'(x)=0 조건에서도 증가일 수 있다. y=x^3이 대표적인 예시인데, 한 점에서만 기울기가 0이라고 해서 증가가 아닌 것은 아니다. 증가함수라는 건 그 이전 점보단 크고 그 이후 점보다는 작다는 것으로 정의되는 것이지, 도함수로 정의하는 게 아니다. 4. 미분이 안되어도 증가일 수 있다. x가 음수일 때는 y=3x, 양수일 때는 y=2x라면 x=0에서 미분은 안되지만 증가이다. 다시 말하지만 도함수로 증감을 정의핮는 게 아니다. 비슷한 경우로 미분이 안된다고 해서 극소/극대가 아닌 것도 아니다. y=|x|는 x=0에서 극소이다. 5. 증가이면 f'(x)>=0이다. y=..

원 위의 세 점 > 내접삼각형 고려, 사인법칙/코사인법칙 고려 가능.. (문제 조건에 따라 달라질 수 있음) 외접원이 자동으로 주어지니까 사인법칙이 우선 순위가 높지 않을까 하는 생각 물론 안된다면 다른 걸 고려해봐야 된다. 원 위의 네 점 > 내접사각형 고려, 대각의 합이 180도인 것 이용 가능.. 대각선을 이으면 삼각형이 두개 나오는데, 이 삼각형은 원에 내접하는 삼각형이므로 사인법칙 고려 가능.. 대각이 각각 90도라면 대각선을 이었을 때 직각삼각형이 나오고, 이 직각삼각형의 빗변은 원의 지름이라는 걸 알 수 있다. + 더불어 굳이 원이 아니더라도 사각형 대각의 합이 180도라는 상황이 연출되면 이 사각형은 외접원을 갖는다는 걸 파악할 수 있어야 한다. 원 밖의 점 > 원 밖의 점에서 접선을 긋는..