[수능수학] 원함수와 역함수의 교점

실수 전체에서 연속이고 일대일 대응인 함수 f(x)가 있다고 하자. 함수 f(x)와 역함수 f−1(x)에 대하여 교점 개수 는 다음과 같은 성질을 따른다.

f (x): 증가함수	교점은 항상 y = x의 위에 존재한다.
f (x): 감소함수	교점의 개수가 항상 ‘홀수’개다. - 교점이 1개: 교점이 항상 y = x위에 존재한다. - 교점이 3,5,...개: 교점 하나는 y = x위에, 나머지는 기울기가 −1인 직선 위에 존재한다.

증가함수인 경우는 간단하게 확인해볼 수 있으니, 감소함수인 경우에 깊게 알아보자.

f (x)가 감소함수라면 y = x와 적어도 하나의 교점을 가져야함을 알 수 있을 것이다. (사이값 정리로 확인할 수 있 다. 직접해보자.)

교점이 ‘적어도’ 하나니까.. 두개는 가질 수 없을까? 교점을 두개 이상 갖는다고 가정하고, 두 교점의 좌표를 (a, a), (b, b) (a < b)라 하자. 그러면 두 교점 사이의 기울기가 b − a = 1이 되므로 함수 f (x)가 구간 (a , b)에서 증가한다. 이는 f (x)가 감소함수라는 가정에 모순이다. b − a

그러므로, 감소함수 f (x)와 y = x는 교점을 반드시 하나만 가져야 한다.

감소함수인 경우, 교점이 y = x의 외부에서 교점을 가질 수 있다.

두 함수의 교점이 (a,b)라면 역함수 조건에 의해 (b,a) 또한 원함수와 역함수의 교점이 된다. 이 둘 사이의 기울 기를 계산해보면 a − b = − 1이 되므로 f (x)는 구간 (a, b)에서 감소하고 두 교점은 기울기가 −1인 직선 위

b−a
에 즉, y = − x + k의 위에 존재함을 알 수 있다.

Q1. 원함수가 감소함수이고, 기함수라면 원함수와 역함수의 교점은 모두 어떤 직선 위에 있는가?
Q2. 원함수와 역함수의 교점이 짝수개라는 것으로부터 원함수가 증가함수인지, 감소함수인지 결정할 수 있는가? Q3. 원함수와 역함수의 교점이 홀수개라는 것으로부터 원함수가 증가함수인지, 감소함수인지 결정할 수 있는가? Q4. 증가함수는 원함수와 역함수가 항상 존재하는가?