[고등수학] 특이한 삼각함수의 극한

$$ \lim_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{x^2}$$

 

의 값을 구하는 문제를 생각해보자. 고등학교 교육과정 내에서 풀려고 하면 잘 안될 것이다. 그러면 보통 학원에서 가르쳐주는 로피탈 법칙을 쓰려고 할텐데,,, 만약 이게 학교 시험 서술형에 나왔다고 하면 ㅠㅠ 굉장히 난처해질 것이 불보듯 뻔하다. 답은 구할 수 있겠지만 -_-;;

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그러면 어떻게 해야될까?

 

간단한 '부등식 하나'와 '삼각함수 식조작'을 통해서 극한값을 알아볼 것이다. 

 

극한식 내부의 식 $f(x)=\dfrac{x - \sin x}{x^2}$이 기함수라는 것을 통해서 $x>0$인 경우만 따져봐도 괜찮다는 알 수 있을 것이다. 그러면, 우리는 다음과 같이 식을 작성할 수 있다.

 

$$ 0<\dfrac{x - \sin x}{x^2} $$

 

$x>0$ 일 때는 $\tan x> x$이므로 위의 부등식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$ 0<\dfrac{x - \sin x}{x^2}<\dfrac{\tan x - \sin x}{x^2} $$

 

여기서 다음과 같이 식조작을 할 수 있다.

 

$$ 0<\dfrac{x - \sin x}{x^2}<\dfrac{\tan x - \sin x}{x^2} = \tan x \dfrac{1-\cos x}{x^2} = \dfrac{\tan x}{2} \left(\dfrac{ \sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2 $$

 

그러면 부등식은 다음과 같이 간략히 쓸 수 있다.

 

$$0<\dfrac{x - \sin x}{x^2}< \dfrac{\tan x}{2} \left(\dfrac{ \sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2$$

 

양변에 $\lim_{x \to 0+}$ 를 취해주면 우변의 식이 $0$에 수렴하는 것은 쉽게 알 수 있을 것이다. 그러므로,

 

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{x^2} =0$$

 

임을 알 수 있다.

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그렇다면

 

$$\lim_{x \to 0 } \frac{x - \sin x}{x^3}$$

 

은 어디로 수렴할까? 위의 부등식을 보면 왠지 $\dfrac{1}{2}$로 수렴할 것 같은가?

 

그렇지 않다.

 

위의 극한식은 $\dfrac{1}{6}$으로 수렴한다. 이는 다음 글에서 알아보도록 하자.