[시계열] 추세안정, 랜덤워크 (Trend Stationary, Random Walk) (General Case)

일반적으로 적절한 변환을 거치면 time series process를 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\phi (L) y_{t} = \theta (L) \epsilon_{t}\;\cdots\;(1)$$

여기서 $\phi (L), \theta (L)$은 각각 다음과 같다.

$$\phi (L) = 1 - \phi_{1}L-\phi_{2}L^{2}-\cdots-\phi_{p}L^{p}$$

$$\theta (L) = 1+\theta_{1}L+\theta_{2}L^{2}+\cdots+\theta_{q}L^{q}$$

그러면 $\phi(L)$은 최대 p개의 근을, $\theta(L)$은 q개의 근을 갖는다. 이를 인수분해하면 다음과 같다.

$$(1-\phi_{1}^{\ast}L)(1-\phi_{2}^{\ast}L)\cdots(1-\phi_{p}^{\ast}L)y_{t}=(1-\theta_{1}^{\ast}L)(1-\theta_{2}^{\ast}L)\cdots(1-\theta_{q}^{\ast}L)\epsilon_{t}$$

여기서 $\phi^{\ast},\theta^{\ast}$는 다항식의 근을 가리킨다.

 

Case 1: $\phi (L) = \theta (L)$

이 경우에는 $(1)$의 식은 다음과 같이 된다.

$$\begin{equation} \begin{split} y_{t} & = \frac{\theta(L)}{\phi(L)} \epsilon_{t} \\ & = \psi(L)\epsilon_{t} \end{split} \end{equation}$$

그러므로, 충격반응함수는 $1,0,0,\cdots$가 된다. 이 과정은 trend stationary하다.

 

Case 2: $\phi (L) \neq \theta (L)$

이 경우, 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$\begin{equation} \begin{split} y_{t} & = \frac{\theta(L)}{\phi(L)} \epsilon_{t} \\ & = [(1-\theta_{1}^{\ast}L)(1-\theta_{2}^{\ast}L)\cdots(1-\theta_{q}^{\ast}L)][(1-\phi_{1}^{\ast}L)^{-1}(1-\phi_{2}^{\ast}L)^{-1}\cdots(1-\phi_{p}^{\ast}L)^{-1}]\epsilon_{t} \\ & = (\psi_{0}+\psi_{1}L+\psi_{2}L^{2}+\cdots)\epsilon_{t} \\ & = \psi(L)\epsilon_{t} \; \cdots \; (2) \end{split} \end{equation}$$

위의 관계를 이용하면 $y_{t+2},y_{t+1}, y_{t}$를 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{equation} \begin{split} y_{t+2} & = (\psi_{0}+\psi_{1}L+\psi_{2}L^{2}+\cdots)\epsilon_{t+2} \\ & = \psi_{0}\epsilon_{t+2}+\psi_{1}\epsilon_{t+1}+\psi_{2}\epsilon_{t}+\psi_{3}\epsilon_{t-1}+\cdots \\ y_{t+1} & = (\psi_{0}+\psi_{1}L+\psi_{2}L^{2}+\cdots)\epsilon_{t+1} \\ & = 0+\psi_{0}\epsilon_{t+1}+\psi_{1}\epsilon_{t}+\psi_{2}\epsilon_{t-1}+\psi_{3}\epsilon_{t-2}+\cdots \\ y_{t} & = (\psi_{0}+\psi_{1}L+\psi_{2}L^{2}+\cdots)\epsilon_{t} \\ & = 0 + 0 + \psi_{0}\epsilon_{t}+\psi_{1}\epsilon_{t-1} \end{split} \end{equation}$$

그러므로,

$$\begin{equation} \begin{split} y_{t+2}-y_{t-1} & = \psi_{0}\epsilon_{t+2}+(\psi_{1}-\psi_{0})\epsilon_{t+1}+(\psi_{2}-\psi_{1})\epsilon_{t}+(\psi_{3}-\psi_{2})\epsilon_{t-1}+\cdots \\ y_{t+1}-y_{t} & = \psi_{0}\epsilon_{t+1}+(\psi_{1}-\psi_{0})\epsilon_{t}+(\psi_{2}-\psi_{1})\epsilon_{t-1}+\cdots \\ y_{t} & = \psi_{0}\epsilon_{t}+(\psi_{1}-\psi_{0})\epsilon_{t-1}+\cdots \end{split} \end{equation}$$

$a_{0}=\psi_{0}$이라 두고, $a_{i}=\psi_{i}-\psi_{i-1}$이라 하자. 그러면, 위의 식은

$$\begin{equation} \begin{split} y_{t+2}-y_{t+1} & = a_{0}\epsilon_{t+2}+a_{1}\epsilon_{t+1}+a_{2}\epsilon_{t}+a_{3}\epsilon_{t-1}+\cdots \\ y_{t+1}-y_{t} & = a_{0}\epsilon_{t+1}+a_{1}\epsilon_{t}+a_{2}\epsilon_{t-1}+\cdots \\ y_{t} & = a_{0}\epsilon_{t}+a_{1}\epsilon_{t-1}+\cdots \end{split} \end{equation}$$

가 되고 $y_{t+2}$는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{equation} \begin{split} y_{t+2} & = (y_{t+2}-y_{t+1})+(y_{t+1}-y_{t})+y_{t} \\ & = \nabla y_{t+2} + \nabla y_{t+1} + y_{t} \\ & =  a_{0} \epsilon_{t+2} + (a_{0}+a_{1})\epsilon_{t+1}+(a_{0}+a_{1}+a_{2})\epsilon_{t}+(a_{1}+a_{2}+a_{3})\epsilon+{t-1}+\cdots  \end{split} \end{equation}$$

$y_{t}$에서 멈추지 않고 무한합을 취하면 다음과 같다.

$$\displaystyle \begin{equation} \begin{split} y_{t+2} & = \sum_{j=0}^{\infty} \nabla y_{t+2-j} \\ & = a_{0}\epsilon_{t+2}+(a_{0}+a_{1})\epsilon_{t+1}+(a_{0}+a_{1}+a_{2})\epsilon_{t}+(a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3})\epsilon_{t-1}+\cdots+\lim_{n \to \infty} (\sum_{j=0}^{n} a_{j})\epsilon_{t+2-n} \; \cdots (3) \end{split} \end{equation}$$

$y_{t}$가 $AR(1)$을 따른다고 가정하면,

$$\begin{equation} \begin{split} \;\;\;\;\; & y_{t} = \phi y_{t-1}+\epsilon_{t} \\ & \Rightarrow (1-\phi L)y_{t}=\epsilon_{t} \\ & \Rightarrow y_{t}=(1-\phi L)^{-1}\epsilon_{t} \\ & \Rightarrow y_{t}=(1+\phi L + \phi^{2}L^{2}+\cdots)\epsilon_{t} \\ & \Rightarrow y_{t} = 1 + \phi \epsilon_{t-1}+\phi^{2} \epsilon_{t-2} + \cdots + \lim_{n \to \infty} \phi^{n}\epsilon_{t-n} \end{split} \end{equation}$$

그럼 $(3)$식의 관계로부터

$$\displaystyle \begin{equation} \begin{split} y_{t} & = \sum_{j=0}^{\infty} \nabla y_{t-j} \\ & = a_{0}\epsilon_{t}+(a_{0}+a_{1})\epsilon_{t-1}+(a_{0}+a_{1}+a_{2})\epsilon_{t-2}+\cdots+\lim_{n \to \infty}(\sum_{j=0}^{n} a_{j})\epsilon_{t-n} \\ & = \psi_{0}\epsilon_{t}+\psi_{1}\epsilon_{t-1}+\psi_{2}\epsilon_{t-2}+\cdots+\lim_{n \to \infty} \psi_{n}\epsilon_{t-n} \end{split} \end{equation}$$

이 경우, $\psi_{i}=\phi^{i}$가 된다. 그러므로,

1. $y_{t}$가 랜덤워크면, $\displaystyle \phi=1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} 1^{n} = \sum_{j=0}^{n} a_{j} = 1$
2. $y_{t}$가 안정과정(stationary process)이면, $\displaystyle \vert \phi \vert < 1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \phi^{n} = \sum_{j=0}^{n} a_{j} = 0$

위의 식은 간단한 경우다. Process가 $(2)$와 같이 복잡한 경우 $\psi$는 $1$이나 $0$, 적당한 값 $\alpha$로 수렴할 수 있다. 그리고 $a(L)$이 $y_{t}-y_{t-1}=a(L)\epsilon_{t}$와 같이 lag-operator의 다항식인 경우 $\displaystyle \sum_{j=0}^{n} a_{j} = a(1)$이 된다.

 

이제 다음 네가지 경우를 생각해보자.

1. $a(1)>1$: Very hardly seen
2. $a(1)=1$: Random Walk
3. $0<a(1)<1$: Mean Reversion (Random Walk + Stationary)
4. $a(1)=0$: Stationary

Note. mean reversion process는 Ornstein-Uhlenbeck process와 비슷하다.

$$dx_{t} = \alpha (\mu-x_{t})dt+\sigma dW_{t}$$

Impluse Responsibility Functions