그레인저 인과성 검정(Granger Causality Test)은 시계열이 다른 걸 예측하는데도 유용한지 결정하는데 필요한 통계적 가설 검정이다.
Ex1
다음과 같은 $VAR(1)$ model을 하나 생각해보자.
$$\begin{bmatrix} r_{t} \\ q_{t} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mu_{r} \\ \mu_{q} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r_{t-1} \\ q_{t-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \epsilon_{r,t} \\ \epsilon_{q,t} \end{bmatrix}$$
만약, $a_{12}=0$이면 $r_{t}$는 $q_{t-1}$에 디펜드하지 않는다. 이 경우에 $q$는 $r$을 'granger cause'하지 않는다고 말한다. 비슷하게 만약, $a_{21}=0$이면 $q_{t}$는 $r_{t-1}$에 디펜드하지 않고, $r$은 $q$를 'granger cause'하지 않는다고 말한다. 즉,
1. $q_{t-1} \nvdash r_{t}$, $q$는 $r$을 granger cause하지 않는다.
2. $r_{t-1} \nvdash q_{t}$, $r$은 $q$를 granger cause하지 않는다.
Note
$q_{t-1} \vdash r_{t}$라고 해서, 이게 '$q_{t-1}$때문에 $r_{t}$가 일어났다'는 걸 뜻하지 않는다. 만약에 $q_{t-1}$을 $(t-1)$날의 비가 오는지에 대한 예보라 하고, $r_{t}$를 $t$날의 날씨라고 둬보자. 그러면 $q_{t-1} \vdash r_{t}$는 '어제의' 비 예보가 오늘 비가 오는지 예측하는데 도움을 줬다는 걸 뜻한다. 비 예보가 오늘 비가오는지 예측하는데 도움줬다는 것이 아니라.
Ex2 (Sims (1980))
Sims는 다음 네가지를 갖고서 $VAR$을 계산했다.
1. M1: Money
2. IP: Industrial Production
3. WPI: Wholesale Price Indices
4. R: Interest Rate
그러면 다음과 같은 테이블을 두개 만들 수 있다.
1. 첫번째 행은 M1이 외생적임을 증명한다. 즉, 이는 다른 변수의 충격에 반응하지 않는다.
2. 두번째 행은 M1이 IP의 변화를 야기시켰음을 보여준다.
3. 세번째 행은 약간 복잡하다. WPI는 외생적인 것처럼 보인다. 그리고 M1에는 영향을 크게 받지 않는다.
1. 첫번째 행에서 M1은 외생적이지 않다. R에 영향 받는다.
2. 두번째 행에서 M1은 이제 IP에 영향을 끼치지 않는다.
3. 세번째 행은 M1은 WPI에 영향끼치는 걸 보여준다.