[시계열] 충격반응분석 (Impulse Response Analysis) - (3) (Sims Orthogonalization)

이전 포스팅에서는 두 변수를 코릴시키기 위해 'Cholesky Decompostion'을 배웠다. 우리의 최종 목적은 코릴돼있는 두 변수를 그렇지 않게 만드는 것이다. 우선, $\vec{x}_{t}=\textbf{C}(L)\vec{\xi}_{t}$를 다음과 같이 써보자.

$$ \begin{bmatrix} y_{t} \\ z_{t} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{0,yy} & C_{0,yz} \\ C_{0,zy} & C_{0,zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \xi_{y,t} \\ \xi_{z,t} \end{bmatrix}+\textbf{C}_{1}\vec{xi}_{t-1}+\cdots$$

Sims는 $\textbf{C}_{0}$가 lower-triangular matrix여야 한다고 제안했다. 즉,

$$\begin{bmatrix} y_{t} \\ z_{t} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{0,yy} & 0 \\ C_{0,zy} & C_{0,zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \xi_{y,t} \\ \xi_{z,t} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} C_{1,yy} & C_{1,yz} \\ C_{1,zy} & C_{1,zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \xi_{y,t-1} \\ \xi_{z,t-1} \end{bmatrix} + \textbf{C}_{2}\vec{\xi}_{t-2}+\cdots$$

이는 $VAR$을 직교화함으로써 $C_{0,yz}$의 이펙트를 $C_{0,zy}$가 흡수하는 걸 의미한다. 즉,

$$\begin{equation} \begin{split} & \;\;\;\;\;\, \textbf{C}_{0}=\textbf{B}_{0}\textbf{A}^{-1} \\ & \Rightarrow \textbf{C}_{0}=\textbf{I}\textbf{A}^{-1} \\ & \Rightarrow \textbf{C}_{0}=\textbf{A}^{-1} \end{split} \end{equation}$$

그리고 우리가 $\textbf{A}$를 lower-triangular matrix로 정의했기 때문에 $\textbf{A}^{-1}$도 lower-triangular matrix가 된다.

 

위의 식은 $VAR$을 $VMA(\infty)$로 표현한 것이다. 이걸 다시 $VAR$로 표현하면 다음과 같다.

$$\begin{equation} \begin{split} & \;\;\;\;\;\, \textbf{C}(L)^{-1}\vec{x}_{t}=\vec{\xi}_{t} \\ & \Rightarrow \textbf{D}(L)\vec{x}_{t}=\vec{\xi}_{t} \, where \, \textbf{D}(L)=\textbf{C}(L)^{-1} \end{split} \end{equation}$$

그럼 이 식은 과거 변수들의 유한 합과 하나의 에러텀을 갖는 것으로 바뀐다.

$$\begin{bmatrix} D_{0,yy} & 0 \\ D_{0,zy} & D_{0,zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{t} \\ z_{t} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} D_{1,yy} & D_{1,yz} \\ D_{1,zy} & D_{1,zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{t-1} \\ z_{t-1} \end{bmatrix} + D_{2}\vec{x}_{t-2}+\cdots=\begin{bmatrix} \xi_{y,t} \\ \xi_{z,t} \end{bmatrix}$$

$\Rightarrow$

$$\begin{equation} \begin{split} D_{0,yy}y_{t} & = 0-D_{1,yy}y_{t-1}-D_{2,yy}y_{t-2}-\cdots-D_{p,yy}y_{t-p} \\ & \;\;\;\;\;\;\, - D_{1,yz}z_{t-1}-D_{2,yz}z_{t-2}-\cdots-D_{p,yz}z_{t-p}+\xi_{y,t} \end{split} \end{equation}$$

 

$$\begin{equation} \begin{split} D_{0,zz}z_{t} & =-D_{0,zy}y_{t}-D_{1,zy}y_{t-1}-D_{2,zy}y_{t-2}-\cdots-D_{p,zy}y_{t-p} \\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - D_{1,zz}z_{t-1}-D_{2,zz}z_{t-2}-\cdots-D_{p,zz}z_{t-p}+\xi_{z,t} \end{split} \end{equation}$$

$(1)$

$\Rightarrow$ 위 식$(1)$을 각각 $-D_{0,yy}, -D_{0,zz}z_{t}$로 나누자.

$$\begin{equation} \begin{split} y_{t} & = 0 + a_{1,yy}y_{t-1}+a_{2,yy}y_{t-2}+\cdots+a_{p,yy}y_{t-p} \\ & \;\;\;\;\;\;\, + a_{1,yz}z_{t-1}+a_{2,yz}z_{t-2}+\cdots+a_{p,yz}z_{t-p}+\xi_{y,t} \end{split} \end{equation}$$

 

$$\begin{equation} \begin{split} z_{t} & = a_{0,zy}y_{t}+a_{1,zy}y_{t-1}+a_{2,zy}y_{t-2}+\cdots+a_{p,zy}y_{t-p} \\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + a_{1,zz}z_{t-1}+a_{2,zz}z_{t-2}+\cdots+a_{p,zz}z_{t-p}+\xi_{z,t} \end{split} \end{equation}$$

 

$(1)$ 식을 보는 방법 중 하나는 OLS다. 이를 OLS로 표현해보자.

$$\xi_{y,t}=y_{t}-\mathbb{E}[y_{t} \vert y_{t-1},y_{t-2},\cdots,y_{t-p},z_{t-1},z_{t-2},\cdots,z_{t-p}]$$

$$\xi_{z,t}=z_{t}-\mathbb{E}[z_{t} \vert y_{t},y_{t-1},y_{t-2},\cdots,y_{t-p},z_{t-1},z_{t-2},\cdots,z_{t-p}]$$

여기서 $\xi_{y,t}$는 $(y_{t}, y_{t-1}, y_{t-2},\cdots,y_{t-p},z_{t-1},z_{t-2},\cdots,z_{t-2})$의 선형 결합이다. 그러면 OLS의 정의에 의해, $\xi_{z,t}$는 회귀 변수의 그 어떤 선형 결합과 독립(직교)이어야 한다. 그러므로 $\xi_{y,t}, \xi_{z,t}$는 언코릴됐다.