[시계열] 추세안정, 랜덤워크 (Trend Stationary, Random Walk)

추세안정(Trend Stationary)과 랜덤워크(Random Walk)는 둘 다 유닛 루트를 갖는다. 하지만 얘들은 충격반응함수(Impulse Responsibiltiy Function)에서 다른 점이 드러난다.

 

Trend Stationary

추세안정과정은 다음과 같다.

$$y_{t}=\mu t + \theta (L) \epsilon_{t}$$

여기서 추세를 빼면 다음과 같은 stationary process를 얻게 된다.

$$y_{t}-\mu t = \theta (L) \epsilon_{t}$$

여기다 양쪽에 일차 미분 $\nabla=(1-L)$을 양변에 적용해보면,

$$\begin{equation} \begin{split} \nabla y_{t} & = \nabla \mu t + \nabla \theta (L) \epsilon_{t} \\ (1-L)y_{t} & = (1-L)\mu t + (1-L)\theta (L) \epsilon_{t} \\ (1-L)y_{t} & = \mu (t-(t-1))+(1-L)\theta (L) \epsilon_{t} \\ & = \mu + (1-L)\theta (L) \epsilon_{t} \\ & = \mu + a(L)\epsilon_{t} \end{split} \end{equation}$$

 

Note. $a(1)=(1-1)\theta (L) \epsilon_{t} = 0$

Note. 위의 식 전개는 선형 함수에 러프하게 미분을 한 것이다. 추세과정이 이차식을 갖는 경우에는 추세를 제거해주기 위해 이차미분 $\nabla^{2}=(1-L)^{2}$을 쓴다.

 

Ex

다음과 같은 추세안정과정을 하나 생각해보자.

$$y_{t}=\mu t + \epsilon_{t}$$

양변에 일차 미분 $\nabla=(1-L)$을 써보자.

$$\begin{equation} \begin{split} \nabla y & = \nabla \mu t + \nabla \epsilon_{t} \\ (1-L)y_{t} & = (1-L)\mu t + (1-L)\epsilon_{t} \\ (1-L)y_{t} & = \mu (t-(t-1))+(1-L)\epsilon_{t} \\ & = \mu+(1-L)\epsilon_{t} \;\;\; \cdots \; (\ast) \end{split} \end{equation}$$

 

여기서 $(1-L)$의 루트는 1이 된다. 그러므로 얘는 유닛 루트를 갖는다. 충격반응함수는 AR model의 MA 표현으로부터 $\epsilon$의 계수가 된다. 즉, $(\ast)$의 MA 표현은

$$y_{t}=(1-L)^{-1}\mu+\epsilon_{t}$$

그러므로, 충격반응함수는 1이 된다.

추세안정과정의 충격반응함수

 

Random Walk

랜덤워크과정은 다음과 같다.

$$y_{t}=\mu+y_{t-1}+\epsilon_{t}$$

추세안정과정과는 달리 위의 식에 일차미분을 적용하는 것은 이를 stationary process로 만들어주지 않는다.

$$\nabla y_{t}=\mu+\nabla y_{t-1}+\nabla \epsilon_{t}$$

여기에 미분을 적용하면 새로운 랜덤워크과정이 된다. 위 식의 양변에 $y_{t-1}$을 빼주면 stationary하게 만들어주는 걸 볼 수 있다. 이는 랜덤워크과정이 종종 'Difference Stationary'라고 불리는 이유가 된다.

$$\begin{equation} \begin{split} & \;\;\;\;\;\, y_{t}-y_{t-1}=\mu+\epsilon_{t} \\ & \Rightarrow (1-L)y_{t} = \mu + \epsilon_{t} \end{split} \end{equation}$$

이는 추세안정과정에서 일차미분을 통해 stationary process를 얻었을 때와 꼴이 같다. 하지만 여기서는 $\epsilon_{t}$에 계수가 없고 이것이 큰 차이를 만든다는 것을 알아야 한다.

$$\begin{equation} \begin{split} & \;\;\;\;\;\, y_{t}=(1-L)^{-1}\mu+(1-L)^{-1}\epsilon_{t} \\ & \Rightarrow y_{t}=(1-L)^{-1}\mu+(1+L+L^{2}+\cdots)\epsilon_{t} \end{split} \end{equation}$$

그러므로, 충격반응함수는 $1, 1, \cdots$가 된다.

랜덤워크의 충격반응함수

Summary

추세안정(Trend Stationary)는 다음과 같다.

$$(1-L)y_{t}=\mu+(1-L)\epsilon_{t}$$

랜덤워크(Random Walk)는 다음과 같다.

$$(1-L)y_{t}=\mu+\epsilon_{t}$$

얘네의 차이는 $\epsilon_{t}$의 계수에서 생긴다. 여기서 lag-operator $L$의 다항함수의 계수를 $a(L)$이라 하면 추세안정과정은 $a(1)=0$을 랜덤워크는 $a(1)=1$을 만족한다.