[시계열] 분산 분해, 예측 오차 분산 분해 (Variance Decomposition, Forecast Error Variance Decomposition )

Variance Decomposition(or Forecast Error Variance Decomposition)은 자기회귀에서 각 변수가 다른 변수들에게 얼마나 영향을 끼치는지에 대한 정보의 양을 말한다. 이는 각 변수의 error variance가 얼마나 다른 변수에 대한 외생적 충격으로 설명될 수 있는지를 정한다.

(외생적 충격 (exogeneous shock): 모델에서 생각안하는 쇼크)

 

이전 포스팅에서 $\vec{x}_{t}=\textbf{C}(L)\vec{\xi}_{t}, \, where \, Var(\vec{\xi}_{t})=\textbf{I}$를 정의했다. 그러므로,

$$\begin{equation} \begin{split} \vec{x}_{t} & = \textbf{C}(L)\vec{\xi}_{t} \\ & = [\textbf{C}_{0} + \textbf{C}_{1}L + \textbf{C}_{2}L^{2}+\cdots]\vec{\xi}_{t} \\ & = \textbf{C}_{0}\vec{\xi}_{t}+\textbf{C}_{1}\vec{\xi}_{t-1}+\textbf{C}_{2}\vec{\xi}_{t-2}+\cdots \end{split} \end{equation}$$

그리고

$$\mathbb{E}[\vec{x}_{t} \vert F_{t-1}]=0+\textbf{C}_{1}\vec{\xi}_{t-1}+\textbf{C}_{2}\vec{\xi}_{t-2}+\cdots$$

가 된다.

 

이렇게 되면 One-Step forecast error variance는 다음과 같다.

$$\begin{equation} \begin{split} \vec{x}_{t}-\mathbb{E}[\vec{x}_{t} \vert F_{t-1}] & = \textbf{C}_{0}\vec{\xi} \\ & = \begin{bmatrix} C_{0,yy} & C_{0,yz} \\ C_{0,zy} & C_{0,zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \xi_{y,t} \\ \xi_{z,t} \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} \epsilon_{y,t} \\ \epsilon_{z,t} \end{bmatrix} \end{split} \end{equation}$$

 

$$\begin{equation} \begin{split} \therefore \; Var(y_{t} \vert F_{t-1}) & = Var(\epsilon_{y,t} \vert F_{t-1}) \\ & = Var(C_{0,yy} \xi_{y,t}+C_{0,yz}\xi_{z,t} \vert F_{t-1}) \\ & = C_{0,yy}^{2} Var(\xi_{y,t} \vert F_{t-1}) + C_{0,yz}^{2} Var(\xi_{z,t} \vert F_{t-1})+ 2C_{0,yy}C_{0,yz} \cdot Cov(\xi_{y,t},\xi_{z,t} \vert F_{t-1}) \\ & = C_{0,yy}^{2}+C_{0,yz}^{2} \;\;\; (\because Var(\vec{\xi}_{t})=\textbf{I}) \end{split} \end{equation}$$

 

- $C_{0,yy}^{2}$는 self-contribution을 뜻한다.

- $C_{0,yz}^{2}$는 다른 변수에 의해 영향을 받은 variance를 뜻한다.

 

위의 variance 식을 일반화시키면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{equation} \begin{split} Var(\vec{x}_{t} \vert F_{t-1}) & = Var(\textbf{C}_{0} \vec{\xi}_{t} \vert F_{t-1}) \\ & = \textbf{C}_{0} Var(\vec{\xi}_{t} \vert F_{t-1}) \textbf{C}_{0}^{t} \\ & = \textbf{C}_{0} \textbf{I} \textbf{C}_{0}^{t} \\ & = \textbf{C}_{0} \textbf{C}_{0}^{t}  \end{split} \end{equation}$$

 

이제 n-Step forecast error varince를 계산해보면 다음과 같다.

$$\displaystyle \begin{equation} \begin{split} Var(\vec{x}_{t} \vert F_{t-k}) & = Var(\textbf{C}_{0} \vec{\xi}_{t}+\textbf{C}_{1}\vec{\xi}_{t-1}+\cdots+\textbf{C}_{k-1}\vec{\xi}_{t-k+1} \vert F_{t-k}) \\ & = \textbf{C}_{0} \textbf{I} \textbf{C}_{0}^{t}+\textbf{C}_{1}\textbf{I}\textbf{C}_{1}^{t}+\cdots+\textbf{C}_{k-1}\textbf{I}\textbf{C}_{k-1}^{t} \\ & = \textbf{C}_{0}\textbf{C}_{0}^{t}+\textbf{C}_{1}\textbf{C}_{1}^{t}+\cdots+\textbf{C}_{k-1}\textbf{C}_{k-1}^{t} \\ & = \sum_{j=0}^{k-1} \textbf{C}_{j}\textbf{C}_{j}^{t} \end{split} \end{equation}$$

 

그러면 unconditional variance는 다음과 같다.

$$\displaystyle Var(\vec{x}_{t})=\sum_{j=0}^{\infty} \textbf{C}_{j} \textbf{C}_{j}^{t}$$