[선형대수학] 전치행렬, 대칭행렬 (Transpose, Symmetric Matrix)

$\underline{Def}\;(Transpose)$

$\mathbb{F}$를 체(field)라 하고, $A \in  \mathbb{M}_{n \times m} (\mathbb{F})$라 하자.

$A$의 전치행렬(transpose matrix) $A^{t}$는 $A^{t} \in \mathbb{M}_{m \times n} (\mathbb{F})$이고, $(A^{t})_{ij}=A_{ji} \; \forall i,j$를 만족하는 행렬이다.

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$\underline{Prop}$

$\mathbb{F}$를 체라 하면, 다음이 성립한다.

$(aA+bB)^{t}=aA^{t}+bB^{t} \; \forall A, B \in \mathbb{M}_{m \times n}, \; \forall a,b \in \mathbb{F}$

 

$\underline{Proof}$

$A, B \in \mathbb{M}_{m \times n}, \; a,b \in \mathbb{F}$라 하자.

그러면, $\forall i,j$에 대해서

$((aA+bB)^{t}))_{ij}=(aA+bB)_{ji}=aA_{ji}+bB_{ji}=a(A^{t})_{ij}+b(B^{t})_{ij}=(aA^{t}+bB^{t})_{ij}$

그러므로, $(aA+bB)^{t}=aA^{t}+bB^{t}$

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$\underline{Def}\;(Symmetric)$

정방행렬 $A$가 $A=A^{t}$를 만족하면 대칭행렬이라 부른다.

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$\underline{Prop}$

$\mathbb{F}$를 체라 하자. $\mathbb{M}_{n \times n} (\mathbb{F})$에서 모든 대칭행렬의 집합을 $S_{n \times n} (\mathbb{F})$라 하면, 이는 $\mathbb{M}_{n \times n} (\mathbb{F})$의 부분공간이 된다.

 

$\underline{Proof}$

대칭행렬을 모아 놓은 집합이 정방행렬을 모아놓은 집합의 부분집합이기 때문에 다음 세 가지만 확인하면 벡터공간이 됨을 알 수 있다.

$(a)$ 제로 행렬은 항상 대칭이다. 그러므로, $\mathbb{0} \in S_{n \times n} (\mathbb{F})$

$(b)$ $A,B \in S_{n \times n} (\mathbb{F})$라 하자. 그러면 $(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}=A+B$가 된다. 그러므로, $A+B=S_{n \times n}(\mathbb{F})$

$(c)$ $A \in S_{n \times n} (\mathbb{F}),\; c \in \mathbb{F}$라 하자. 그러면 $(cA)^{t}=cA^{t}=cA$가 된다. 그러므로, $cA \in S_{n \times n} (\mathbb{F})$