[선형대수학] 부분 공간 (Subspace)

$\underline{Def} (Subspace)$

벡터공간 $V$의 부분 집합 $W$가 벡터공간이 될 조건을 만족시키면 이를 $V$의 부분공간이라 한다.

 

$\underline{Rmk}$

$V$가 벡터공간이면, ${0}$은 항상 $V$의 부분공간이 되며, 이를 zero subspace라 부른다.

 

$\underline{Thm}$

$W$를 벡터공간 $V$의 부분집합이라 하자.

$W$가 $V$의 부분공간이 되는 것은 다음 세 조건이 성립하는 것과 동치다.

$(a)\; 0 \in W$

$(b)\; x+y \in W \; \forall x,y \in W$

$(c)\; cx \in W \; \forall x \in W, \forall c \in F$

 

$\underline{Proof}$

$(\Rightarrow)$

이는 벡터공간의 정의에 의해 성립한다.

$(\Leftarrow)$

다른 모든 조건들은 만족하기 때문에 부분집합에 항등원, 역원이 존재하는 지만 확인하면 된다.

$0 \in W$이기 때문에 덧셈에 대한 항등원이 있을 조건을 만족한다.

$x \in W$라 하자. 그러면, $x+(-x)=0$을 만족하는 $-x$가 $W$에 존재해야 한다.

$-x=-(1 \times x)=(-1) \times x \in W$