수학/선형대수학

[선형대수학] 소거 법칙 (Cancellation Law)

xeskin 2020. 8. 17. 16:35
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Thm_(Cancellationlaw)Thm––––(Cancellationlaw)

VV를 벡터공간이라 하자. 만약, x,y,zVx,y,zV이고 x+z=y+zx+z=y+z라면, x=yx=y이다.

 

Proof_Proof–––––

벡터공간 정의에 의해 벡터 공간 내의 모든 원소는 덧셈에 대학 역원을 갖는다. zVs.t.z+(z)=0.zVs.t.z+(z)=0.

그러므로, x=x+0=x+(z+(z))=(x+z)z=(y+z)z=yx=x+0=x+(z+(z))=(x+z)z=(y+z)z=y


Coro.1_(Uniquenessof0)Coro.1––––––(Uniquenessof0)

VV를 벡터공간이라 하자. 그러면 임의의 xVxV에 대해 x+0=xx+0=x를 만족하는 00은 오직 하나 존재한다.

 

Proof_Proof–––––

벡터공간의 정의에 의해 0V0V.

만약, x+0=x를 만족하는 0V의 원소라면 다음이 성립한다.

0=0+0=0+0=0


Coro.2_(Uniquenessofadditiveinverse)

V를 벡터공간이라 하자. 그러면 임의의 xV에 대해 x+(x)=0을 만족하는 xV 는 오직 하나만 존재한다.

 

Proof_

xV라 하면, 벡터공간의 정의에 의해 xV.

x+x=0을 만족하는 xV라 하자.

그러면, x+x=x+x=0=x+(x)=(x)+x가 된다.

이때 소거 법칙에 의해, x=x가 된다.

 

xVx의 덧셈에 대한 역원이라 부른다.

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