Thm_(Cancellationlaw)Thm––––––(Cancellationlaw)
VV를 벡터공간이라 하자. 만약, x,y,z∈Vx,y,z∈V이고 x+z=y+zx+z=y+z라면, x=yx=y이다.
Proof_Proof–––––––
벡터공간 정의에 의해 벡터 공간 내의 모든 원소는 덧셈에 대학 역원을 갖는다. ∃−z∈Vs.t.z+(−z)=0.∃−z∈Vs.t.z+(−z)=0.
그러므로, x=x+0=x+(z+(−z))=(x+z)−z=(y+z)−z=yx=x+0=x+(z+(−z))=(x+z)−z=(y+z)−z=y
Coro.1_(Uniquenessof0)Coro.1––––––––(Uniquenessof0)
VV를 벡터공간이라 하자. 그러면 임의의 x∈Vx∈V에 대해 x+0=xx+0=x를 만족하는 00은 오직 하나 존재한다.
Proof_Proof–––––––
벡터공간의 정의에 의해 0∈V0∈V.
만약, x+0′=x를 만족하는 0′이 V의 원소라면 다음이 성립한다.
0′=0′+0=0+0′=0
Coro.2_(Uniquenessofadditiveinverse)
V를 벡터공간이라 하자. 그러면 임의의 x∈V에 대해 x+(−x)=0을 만족하는 −x∈V 는 오직 하나만 존재한다.
Proof_
x∈V라 하면, 벡터공간의 정의에 의해 −x∈V.
x+x′=0을 만족하는 x′∈V라 하자.
그러면, x′+x=x′+x=0=x+(−x)=(−x)+x가 된다.
이때 소거 법칙에 의해, x′=−x가 된다.
−x∈V를 x의 덧셈에 대한 역원이라 부른다.
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