[선형대수학] 소거 법칙 (Cancellation Law)

$\underline{Thm}\;(Cancellation\;law)$

$V$를 벡터공간이라 하자. 만약, $x, y, z \in V$이고 $x+z=y+z$라면, $x=y$이다.

 

$\underline{Proof}$

벡터공간 정의에 의해 벡터 공간 내의 모든 원소는 덧셈에 대학 역원을 갖는다. $\exists -z \in V\;s.t.\;z+(-z)=0.$

그러므로, $x=x+0=x+(z+(-z))=(x+z)-z=(y+z)-z=y$

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$\underline{Coro.1}\;(Uniqueness\;of\;0)$

$V$를 벡터공간이라 하자. 그러면 임의의 $x \in V$에 대해 $x+0=x$를 만족하는 $0$은 오직 하나 존재한다.

 

$\underline{Proof}$

벡터공간의 정의에 의해 $0 \in V$.

만약, $x+0'=x$를 만족하는 $0'$이 $V$의 원소라면 다음이 성립한다.

$0'=0'+0=0+0'=0$

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$\underline{Coro.2}\;(Uniqueness\;of\;additive\;inverse)$

$V$를 벡터공간이라 하자. 그러면 임의의 $x \in V$에 대해 $x+(-x)=0$을 만족하는 $-x \in V$ 는 오직 하나만 존재한다.

 

$\underline{Proof}$

$x \in V$라 하면, 벡터공간의 정의에 의해 $-x \in V$.

$x+x'=0$을 만족하는 $x' \in V$라 하자.

그러면, $x'+x=x'+x=0=x+(-x)=(-x)+x$가 된다.

이때 소거 법칙에 의해, $x'=-x$가 된다.

 

$-x \in V$를 $x$의 덧셈에 대한 역원이라 부른다.