Def_
Let V,W be vector spaces, and let T:V→W be linear.
We define the null space N(T), the range R(T) of T.
N(T)={x∈V:Tx=0}
R(T)={Tx∈W:x∈V}
Null space and range are called kernel and image respectively.
Thm_
Let V,W & T be an in the previous definition.
Then N(T),R(T) are subspaces of V,W, respectively.
Def_
Let V,W & T be as in the above theorem. Suppose N(T),R(T) are finite-dimensional.
Then we define the nullity, the rank of T.
nullity(T)=dim(N(T))∈N0
rank(T)=dim(R(T))∈N0
Ex_
Let V,W be vector spaces. Let I:V→V be the identity map & T0:V→W the zero map.
Then N(I)={0},R(I)=V,N(T0)=V,R(T0)={0}.
Thm_
Let V,W be vector spaces, and let T:V→W be a linear map. If β={v1,⋯,vn} is a basis for V, then R(T)=span(T(β))=span({T(v1),⋯,T(vn)}).
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