[대구 달서구] 2021년 대곡고등학교 1학년 1학기 중간고사 19번 문제 및 해설

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모서리의 길이를 각각 $a,\;b,\;c$라 하자. 모든 모서리의 길이 합이 $18$임을 이용하면 다음과 같이 식을 작성할 수 있다.

$$4(a+b+c)=18$$

이므로, $a+b+c=\dfrac{9}{2}$임을 쉽게 알 수 있다.

삼각형 $\mathrm{DBF}$의 세 변의 길이는 각각 $\sqrt{a^2+b^2+c^2},\;\sqrt{a^2+b^2},\;c$이므로 세 변의 길이의 제곱의 합은 $a^2,\;b^2,\;c^2$을 각각 2번씩 더한 것이므로

$$2(a^2+b^2+c^2)=\dfrac{27}{2}$$

이다. 그러므로, $a^2+b^2+c^2=\dfrac{27}{4}$임을 쉽게 알 수 있다.

 

부피를 구하라고 했으니 $abc$ 값을 구하면 된다. 그런데 여기서 $a,\;b,\;c$ 각각의 값을 구하기 위해서는 식이 3개 필요한데, 조건에서 구할 수 있는 식은 2개뿐이다. 그러면 우리는 주어진 조건과 알고 있는 곱셈공식을 통해 적절한 관계식을 도출해낼 수 있어야 한다. $a+b+c$와 $a^2+b^2+c^2$을 알고 있으므로,

$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$$

를 사용할 수 있겠다. 그러면, $ab+bc+ca=\dfrac{27}{4}$임을 쉽게 알 수 있다. 그러면 $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$이고 우변의 식을 좌변으로 이항하면

$$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$$

을 얻는다. 이 식을 조작하면

$$\dfrac{1}{2}\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}=0$$

으로 변형할 수 있다. 그러면, $(a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0$이므로 $a=b=c$임을 쉽게 알 수 있다. 이를 $a+b+c=\dfrac{9}{2}$에 대입하면 $a=b=c=\dfrac{3}{2}$임을 구할 수 있고 문제에서 요구하는 부피를 구하면 다음과 같다.

$$abc=\dfrac{27}{8}$$

 

 

*유사문제

2016년 교육청 고1 6월 모의고사 10번

2017년 교육청 고2 3월 모의고사 14번

2021년 교육청 고1 6월 모의고사 7번

2018년 올림포스 고난도 수(상) 내신 상위 4% 변별력 문항