[대구 달서구] 2022년 대원고등학교 1학년 1학기 중간고사 18번 문제 및 해설

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다항식 $P(x)$를 $ax+b$로 나누었을 때의 몫이 $Q(x)$이고 나머지가 $R$이므로 다음과 같이 식을 쓸 수 있다.

$$P(x)=(ax+b)Q(x)+R$$

여기서 $xP(x)$를 $ax+b$로 나누었을 때의 몫과 나머지가 궁금하니까 위에서 쓴 식의 양변에 $x$를 곱한 뒤에 우변의 식을 $(ax+b)$를 단위로 하여 묶을 수 있다면 몫과 나머지를 구할 수 있을 것이다.

$$\begin{align*}xP(x) & = x(ax+b)Q(x)+Rx \\ & = (ax+b) \times xQ(x) +\dfrac{R}{a}(ax+b)-\dfrac{bR}{a} \\ & = (ax+b)\left\{xQ(x)+\dfrac{R}{a} \right\} -\dfrac{bR}{a} \end{align*}$$

그러므로, 몫은 $xQ(x)+\dfrac{R}{a}$이고 나머지는 $-\dfrac{bR}{a}$임을 쉽게 알 수 있다.