[CAPM과 $\beta$ 사이의 관계]
CAPM은 자산의 기대 수익률과 systematic risk 사이의 선형 관계를 보여주는 모델입니다. CAPM의 주요 구성 요소 중 하나는 $\beta$ 계수인데, 이는 systematic risk와 market risk에 대한 자산 민감도를 나타냅니다.
계량경제학, 특히 회귀분석의 맥락에서 $\beta$ 계수는 변수 간의 관계를 계산하는 데에 쓰입니다. 회귀 분석에서 $\beta$ 계수는 다른 모든 변수가 일정하다고 가정할 때, 독립 변수의 단위 변화에 대한 종속 변수의 변화를 나타냅니다.
CAPM의 베타는 시장 수익률에 대한 자산의 과거 수익률의 회귀 분석을 통해 결정되기 때문에 CAPM의 $\beta$는 회귀 분석의 $\beta$ 계수와 관련 있습니다. CAPM의 $\beta$ 계수는 자산의 과거 수익률(종속 변수)과 시장 수익률(독립 변수) 사이의 regression line의 기울기로 계산됩니다.
CAPM에서 $\beta$를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.
$$\beta = \dfrac{\text{Cov}(\text{Asset Returns},\; \text{Market Returns})}{\text{Var}(\text{Market Returns})}$$
이는 공식은 선형 회귀에서 slope coefficient를 계산하는 공식과 비슷합니다.
$$\text{Slope coefficient}(\beta)=\dfrac{\text{Cov}(Y,\;X)}{\text{Var}(X)}$$
두 경우 모두 $\beta$는 독립변수(CAPM에서는 자산 수익률, 회귀에서는 Y)의 변화에 대해 종속변수(CAPM에서는 시장 수익률, 회귀에서는 X)가 어떻게 변하는 지를 측정하는 것입니다. 따라서, CAPM에서 $\beta$는 다른 변수의 변화에 대한 한 변수의 민감도 또는 반응성이라는 개념을 나타내기 때문에 회귀 분석의 $\beta$와 동일하게 표현됩니다.
CAPM에서 $\beta$를 계산하는 공식은 다음으로 분해할 수 있습니다.
$$\beta = \dfrac{\text{Cov}(x,\; y)}{ \sigma_{x^{2} }} = \text{Corr}(i,\;m) \times \sigma_{m}\times \dfrac{\sigma_i}{\sigma_{m^{2}}} = \text{Corr}(i,\; m) \times \dfrac{\sigma_i}{\sigma_m} $$
- $\text{Corr}(i,m)$: 개별 주식과 시장 수익률의 상관관계
- $\sigma_m$: 시장 수익률에 대한 표준편차
- $\dfrac{\sigma_i}{\sigma_m}$: 개별 주식과 시장 수익률의 변동성 비율
즉, 이는 $\beta$를 '개별 종목과 시장 수익률의 상관관계', '개별 종목과 시장 수익률의 변동성 비율', '시장 수익률의 표준편차'으로 표현할 수 있습니다. 이를 통해 각 구성 요소가 시장과 관련해 $\beta$에 어떻게 영향을 미치는 지 알 수 있습니다. 상관관계는 주식이 시장과 함께 움직이는 정도를 나타내며, 변동성 비율은 시장 대비 개별 주식의 상대적 위험도를 나타냅니다.
[상관관계 계산]
여기서 개별주식 $i$와 시장 $m$ 사이의 상관관계 계수 $\text{Corr}(i,\;m)$은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
$$\text{Corr}(i,\;m)=\dfrac{\text{Cov}(i,\;m)}{\sigma_{i}\times \sigma _m}$$
1. $\text{Cov}(i,m)$ 계산
$$\text{Cov}(i,\;m) = \dfrac{\sum_{t=1}^{n}(R_{i,t}-\bar{R_i})(R_{m,t}-\bar{R_m})}{n-1}$$
- $R_{i,t}$: 시간 $t$에서 개별 주식의 수익률
- $R_{m,t}$: 시간 $t$에서 시장 수익률
- $\bar{R_i}$: 개별 주식의 수익률 평균
- $\bar{R_m}$: 시장 수익률 평균
- $n$: 데이터 갯수
2. 표준편차 $\sigma_{i},\; \sigma_m$계산
$$\sigma_{i}=\sqrt{\dfrac{\sum_{t=1}^{n}(R_{i,t}-\bar{R_i})^2}{n-1}}$$
$$\sigma_{m}=\sqrt{\dfrac{\sum_{t=1}^{n}(R_{m,t}-\bar{R_m})^2}{n-1}}$$
3. 상관관계 계수 계산
$$\text{Corr}(i,\;m)=\dfrac{\text{Cov}(i,\;m)}{\sigma_{i}\times \sigma _m}$$
- $\text{Corr}(i,m)=1$: 완벽한 양의 상관관계
- $\text{Corr}(i,m)=-1$: 완벽한 음의 상관관계
- $\text{Corr}(i,m)=0$: 상관관계 없음