[대구 수성구] 2021년 오성고등학교 2학년 1학기 중간고사 2번

 

 

ㄱ.에 의해 $g(x)$가 $(x-1)$을 인수로 갖고 있음을 알 수 있다.

ㄴ.을 해석하기 위해 $k$에 $0,\;1,\;2,\;3$을 하나씩 대입해보자.

$k=0$을 대입하면 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{g(x)}=0$이므로 $f(x)$가 $x$를 적어도 하나 인수로 가져야 한다.

$k=1$을 대입하면 $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{g(x)}=0$이다. 그런데 $\displaystyle \lim_{x \to 1} g(x)=0$이므로, 극한식이 $0$으로 수렴하려면 $f(x)$가 $(x-1)$을 적어도 2개 인수로 가져야 한다.

 

이 두 사실을 이용하면 $f(x)=x(x-1)^2$임을 쉽게 알 수 있다.

 

$g(x)=(x-1)(x^2+ax+b)$이다. 미지수가 2개이니 식을 2개 얻어낼 수 있는 조건이 있으면 좋겠다 싶은데 ㄴ.에서 체크해야 $k$값이 2개 남았다. 그럼 이걸 이용하면 다음과 같이 식을 2개 얻을 수 있다.

 

$$\begin{align*} & \lim_{x \to 2} \dfrac{x(x-1)^2}{(x-1)(x^2+ax+b)} = 2 \\ & \lim_{x \to 3} \dfrac{x(x-1)^2}{(x-1)(x^2+ax+b)}=6 \end{align*}$$

 

미지수가 2개 남았는데, 식을 2개 얻었으므로 연립하면 답을 구할 수 있을 것이다. 답은 $28$이다.

 

 

숫자만 바꾼 문제로는 15학년도 고3 6월 모의고사 문제가 있다.

이 문제 또한 위의 방식과 같게 풀린다. 오성고등학교 내신 문제는 이 문제를 숫자만 바꾼 것이라 볼 수 있다.