[선형대수학] 선형 변환이 일대일이면 영공간이 0만 원소로 갖는 것과 동치다.

$\underline{Thm}$

Let $T \colon V \rightarrow W$ be linear. Then $T$ is 1-1 $\Leftrightarrow N(T)=\{ 0 \}$.

 

$\underline{Proof}$

$(\Rightarrow)$

Since $T(0)=0$ & $T$ is 1-1, $N(T)=\{0\}$.

$(\Leftarrow)$

Let $u,v \in V$, and suppose $N(T)=\{ 0 \}$.

Then $T(u-v)=0, u-v \in N(T)=\{ 0\}$.

Thus, $u=v$, Hence $T$ is 1-1.